Το Παράδοξο των Γενεθλίων

Happy Birthday!

Στην θεωρία των πιθανοτήτων, το Παράδοξο Των Γενεθλίων εξετάζει την πιθανότητα, σε ένα πλήθος \(n\) τυχαία επιλεγμένων ανθρώπων, κάποια ζευγάρια απ’ αυτούς να έχουν την ίδια μέρα γενέθλια. Για δική μας ευκολία, θεωρούμε πως τα γενέθλια όλων των ανθρώπων είναι μοιρασμένα ισόποσα στις μέρες του έτους και δεν λαμβάνουμε υπ’ όψιν τα δίσεκτα έτη.

Κάποιος θα μπορούσε έξυπνα να πει πως για να έχουμε 100% πιθανότητες να βρούμε ένα ζευγάρι που να έχει την ίδια μέρα γενέθλια, χρειαζόμαστε 366 άτομα, δηλαδή όσες και οι μέρες του έτους +1. Αυτό εξάλλου μας διδάσκει και η Αρχή του Περιστερώνα (ή “pigeonhole principle” ή “Αρχή του Συρταριού” ή “Schubfachprinzip” ή “Principe des Tiroirs” ή whatever…fuck you!) η οποία λέει πως αν πάρουμε \(n\) περιστέρια και τα βάλουμε σε έναν περιστερώνα που διαθέτει \(m\) φωλιές έτσι ώστε \(n>m\), τότε τουλάχιστον μια φωλιά θα περιέχει δύο περιστέρια. Με αυτή την λογική, αν έχουμε 40 άτομα σε ένα δωμάτιο, τότε η πιθανότητα δυο απ’ αυτούς να έχουν την ίδια μέρα γενέθλια είναι περίπου 11%. Καλή η σκέψη, αλλά λάθος. Στην πραγματικότητα, οι πιθανότητες στην περίπτωση που περιγράψαμε είναι σχεδόν 90%! Με 23 μόλις άτομα, έχουμε 50% πιθανότητες να βρούμε κάποιο ζευγάρι με γενέθλια την ίδια μέρα. Επειδή όμως το μυαλό μας έχει μάθει να σκέφτεται γραμμικά και όχι εκθετικά, ας δούμε τι λένε τα μαθηματικά για αυτό το παράδοξο:

Ας πούμε λοιπόν πως έχουμε 23 άτομα τα οποία μπορούν να έχουν γενέθλια οποιαδήποτε από τις 365 μέρες του χρόνου. Ο συνδυασμός των γενεθλίων τους είναι \(365^{23}\) που χωρίς να τον υπολογίσουμε, καταλαβαίνουμε ότι πρόκειται για τεράστιο αριθμό. Αυτός θα είναι ο παρανομαστής μας.

Τώρα, ας υπολογίσουμε τις πιθανότητες να μην πάρουμε ζευγάρι με ίδια μέρα γενεθλίων. Ο πρώτος λοιπόν, λέει ποια μέρα έχει γενέθλια. Ο δεύτερος, για να μην έχει ίδια μέρα γενέθλια με τον πρώτο, θα πρέπει τα γενέθλιά του να είναι μέσα στις υπόλοιπες 364 μέρες του χρόνου. Ο τρίτος, για να μην πέσει μαζί με τους δυο πρώτους, πρέπει να έχει γενέθλια μέσα στις 363 μέρες που απομένουν κ.ο.κ. Για να πάρουμε όλον αυτόν τον συνδυασμό, κάνουμε τον εξής υπολογισμό:

\[365 \cdot 364 \cdot 363 \cdot … \cdot 344 \cdot 343 \cdot 342\]
ή, για να το γράψουμε πιο ωραία:
\[\frac{365!}{\left ( 365-n \right )!}\]
όπου \(n\) το πλήθος των ατόμων. Αυτός είναι ο αριθμητής μας οπότε μαζί με τον παρανομαστή που πήραμε πριν, θα τα βάλουμε σε ένα κλάσμα για να βρούμε τις πιθανότητες να μην βρούμε κανένα ζευγάρι ατόμων ανάμεσα στα 23 που να έχει την ίδια μέρα γενέθλια:
\[\frac{\left ( \frac{365!}{\left ( 365-n \right )!} \right )}{365^{n}}\Rightarrow \frac{\left ( \frac{365!}{\left ( 365-23 \right )!} \right )}{365^{23}}=\frac{\left ( \frac{365!}{342!} \right )}{365^{23}}=0,4927\]
Υπάρχει λοιπόν 49,27% πιθανότητα να μην βρούμε κανένα ζευγάρι ανάμεσα στα 23 άτομα που να έχει ίδια μέρα γενέθλια. Το αντίθετο αυτού, είναι η πιθανότητα να βρούμε ένα τέτοιο ζευγάρι, άρα \(1-0,4927=0,5073\) κοινώς 50,73% πιθανότητα επιτυχίας. Βλέπουμε λοιπόν πως με μόλις 23 άτομα, έχουμε πάνω από 50% πιθανότητες να βρούμε ένα ζευγάρι που να έχει την ίδια μέρα γενέθλια, όσο παράξενο κι αν ακούγεται!

Ένας τρόπος για να βρίσκουμε γρήγορα τον αριθμό που χρειαζόμαστε για να έχουμε 50% πιθανότητες επιτυχίας σε ένα πλήθος \(n\) είναι να υπολογίζουμε την \(\sqrt{n}\). Βέβαια το αποτέλεσμα είναι απλά για να πάρουμε μια ιδέα περίπου πού κινούμαστε και όχι να το πάρουμε τοις μετρητοίς γιατί για παράδειγμα, \(\sqrt{365}\approx 19,1\) ενώ είδαμε πως χρειαζόμαστε 23 άτομα για να πιάσουμε το 50%.

Την επόμενη φορά που θα βρεθείς με 10 φίλους σου, διαλέξτε από ένα γράμμα της αλφαβήτου ο καθένας και θα έχετε 90% πιθανότητες να βρείτε τουλάχιστον δυο άτομα που έχουν επιλέξει το ίδιο. Ύστερα μπορείς να τους αναλύσεις με τις ώρες όλα όσα έμαθες εδώ και να τους δώσεις την αφορμή που πάντα περίμεναν για να σταματήσουν να σε κάνουν παρέα.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *