0! = 1. Wait, what?!

Έχοντας δώσει μια μαθηματική σπαζοκεφαλιά σε μερικούς μαθητές λυκείου, συνειδητοποίησα ότι δεν είχαν μάθει ακόμα το Παραγοντικό στα μαθηματικά. Μόλις όμως τους εξήγησα ότι

\[ n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times (n-3)\times … \times 3\times 2\times 1\]

το κατάλαβαν αμέσως. Δυστυχώς γι’ αυτούς, η λύση της σπαζοκεφαλιάς απαιτούσε επίσης την γνώση μιας συγκεκριμένης ιδιότητας του παραγοντικού, το \(0!=1\). Η αγωνία τους να λύσουν την σπαζοκεφαλιά ήταν τόσο μεγάλη που δεν αναλώθηκαν ιδιαίτερα στο να αναρωτηθούν από πού κι ως που \(0!=1\), πράγμα που με χαροποίησε μιας και μια τέτοια ερώτηση είναι δύσκολο να εξηγηθεί «απλά». Ήταν όμως μια καλή αφορμή για να ξαναγράψω στην σελίδα μου!

Ας πάρουμε για παράδειγμα το \(4!\):

\[4!=4\times 3\times 2\times 1=24\]

Για να βρούμε το \(3!\), μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το \(4!\):

\[3!=\frac{4!}{4}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{4}=3\times 2\times 1=6\]

Απαλείψαμε το \(4\) από αριθμητή και παρονομαστή και πήραμε το γινόμενο του \(3!\). Με τον ίδιο τρόπο, έχουμε:

\[2!=\frac{3!}{3}=2\]

Ομοίως για το \(1\):

\[1!=\frac{2!}{2}=1\]

Και φτάνουμε στο αγαπημένο μας μηδέν! Δεν υπάρχει τίποτα που να μας περιορίζει να συνεχίσουμε την παραπάνω λογική, οπότε έχουμε:

\[0!=\frac{1!}{1}=1\]

Ας δοκιμάσουμε μια άλλη προσέγγιση, πιο κοντά στον πραγματικό κόσμο! Το παραγοντικό μας λέει ότι αν έχεις \(n\) αντικείμενα, υπάρχουν \(n!\) τρόποι να τα βάλεις στη σειρά. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε \(3\) αντικείμενα, το Α, το Β και το Γ. Αφού τα αντικείμενα είναι \(3\), υπάρχουν \(3!=6\) διαφορετικοί τρόποι για να τα βάλουμε στην σειρά:

Α Β Γ
Α Γ Β
Β Α Γ
Β Γ Α
Γ Α Β
Γ Β Α

Αν αφαιρούσαμε ένα αντικείμενο και μέναμε με \(2\), τότε υπάρχουν \(2!=2\) τρόποι να τα βάλουμε στη σειρά:

Α Β
Β Α

Αν αφαιρούσαμε πάλι ένα αντικείμενο και μείνουμε με \(1\), τότε υπάρχει ένας και μοναδικός τρόπος να το βάλουμε στη σειρά, μιας και \(1!=1\).

Και εδώ ακριβώς έρχεται το σημείο το οποίο φοβόμουν ότι θα χρειαστεί να εξηγήσω στους μαθητές. Τι γίνεται αν αφαιρέσω και το τελευταίο αντικείμενο; Θα πρέπει να βάλω στην σειρά \(0\) αντικείμενα. Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να βάλεις στη σειρά \(0\) αντικείμενα; Μόνο ένας τρόπος! Το \(0\). Το τίποτα. Εδώ αρχίζει και γίνεται λίγο φιλοσοφικό το ζήτημα. Είναι το «τίποτα» κάτι συγκεκριμένο που δεν επιδέχεται τροποποιήσεις; Κάτι που δεν μπορεί να εμφανιστεί με άλλο τρόπο; Συχνά μας διευκολύνει να σκεφτούμε το άλλο άκρο, το άπειρο, μιας και είναι μια έννοια με την οποία ερχόμαστε πιο συχνά σε επαφή και ίσως να την έχουμε φιλοσοφήσει λίγο περισσότερο. Αν πολλαπλασιάσω δύο άπειρα, το αποτέλεσμα θα είναι πάλι άπειρο. Λογικά όμως, το αποτέλεσμα δεν θα έπρεπε να είναι (απείρως) μεγαλύτερο από τα άπειρα που πολλαπλασιάσαμε; Η αλήθεια είναι ότι είναι λάθος να χρησιμοποιούμε το άπειρο για να μας βοηθήσει να αντιληφθούμε τις ιδιότητες του τίποτα. Το άπειρο μπορεί να απαρτίζεται από πολλούς, διαφορετικού είδους, αριθμούς και να έχει ευφάνταστες ιδιότητες. Το «τίποτα» απλά δεν περιέχει τίποτα, άρα θα πρέπει να είναι ένα και μοναδικό.

Leave a Reply

Your email address will not be published.