Υπόθεση Ρίμαν

Το 1859, ο 33χρονος Μπέρναρντ Ρίμαν έκανε μια υπόθεση σχετικά με την «συνάρτηση Ζήτα» και η υπόθεση αυτή είναι πλέον ένα από τα Millenium Prize Problems που θέσπισε το Ινστιτούτο Μαθηματικών Clay και προσφέρει ένα εκατομμύριο δολάρια σε όποιον λύσει κάποιο από αυτά. Πριν φτάσουμε όμως στην υπόθεση, ας δούμε λίγο την συνάρτηση αυτή καθ’ αυτή:

\[\zeta \left ( s \right )=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{s}}\]

ή πιο απλά:

\[\zeta \left ( s \right )=\frac{1}{1^{s}}+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+…\]

Αν πάρουμε για παράδειγμα το \(n=2\), έχουμε:

\[\zeta \left ( 2 \right )=\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+…=\]
\[\zeta \left ( 2 \right )=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+…\]

Βλέπουμε λοιπόν πως όσο προχωράμε στο άθροισμα, τόσο περισσότερο πλησιάζουμε (= συγκλίνουμε, άρα η σειρά είναι συγκλίνουσα) στο αποτέλεσμα οπότε ουσιαστικά έχουμε ένα όριο:

\[\zeta \left ( 2 \right )=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}=\lim_{n\rightarrow +\infty }\left ( \frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+…+\frac{1}{n^{2}} \right )\]

Το συγκεκριμένο όριο (αποκλειστικά για \(n=2\) δηλαδή), ήταν τόσο δύσκολο να λυθεί που αποτέλεσε ένα πρόβλημα από μόνο του, γνωστό ως «πρόβλημα Μπέζελ», και από το 1644 που τέθηκε πρώτη φορά από τον Μενγκόλι, χρειάστηκαν 91 χρόνια μέχρι να έρθει επιτέλους η απάντηση από τον Όιλερ! Το πρόβλημα ζητούσε τόσο το ακριβές σύνολο του αθροίσματος καθώς και απόδειξη ότι αυτό είναι σωστό. Ο Όιλερ κατάφερε να αποδείξει ότι

\[\zeta \left ( 2 \right )=\frac{\pi ^{2}}{6}\]

Το γεγονός ότι εμφανίστηκε το \(\pi\) στη λύση του ορίου προκάλεσε έκπληξη και οφείλεται στην έξυπνη απόδειξη του Όιλερ η οποία βασίστηκε στην υπόθεση ότι τα πολυώνυμα με συγκεκριμένο πλήθος παραγόντων, έχουν τις ίδιες ιδιότητες με τα πολυώνυμα απείρου πλήθους παραγόντων. Έτσι, αναπαράστησε τη συνάρτηση ημίτονο ως άθροισμα απείρων παραγόντων. Χρειάστηκαν περίπου 100 χρόνια μέχρι ο Weierstrass να αποδείξει ότι η υπόθεση στην απόδειξη του Όιλερ αληθεύει!

Μπορούμε φυσικά να βάλουμε οποιοδήποτε αριθμό στην συνάρτηση. Π.χ για \(s=3\) θα είχαμε:

\[\zeta \left ( 3 \right )=\frac{1}{1^{3}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{3^{3}}+…=\]
\[\zeta \left ( 3 \right )=1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+…=\]
\[1.2020569031595942854…\]

(ο συγκεκριμένος αριθμός ονομάζεται «Σταθερά Apery»)

Θα μπορούσε επίσης να αντικαταστήσουμε το \(s\) με αρνητικούς αριθμούς:

\[\zeta \left ( -1 \right )=\frac{1}{1^{-1}}+\frac{1}{2^{-1}}+\frac{1}{3^{-1}}+…=\]
\[\zeta \left ( -1 \right )=1+2+3+…\]

και φτάνουμε στο διάσημο άθροισμα όλων των φυσικών αριθμών. Είδαμε νωρίτερα παραδείγματα όπως το \(\zeta \left ( 2 \right )\) και το \(\zeta \left ( 3 \right )\) όπου τα κλάσματα γινόντουσαν όλο και μικρότερα άρα με κάθε πρόσθεση, ερχόμασταν όλο και πιο κοντά στο αποτέλεσμα (με όλο και πιο μικρά βήματα βεβαίως). Δυστυχώς όμως, στην περίπτωση του \(\zeta \left ( -1 \right )\), δεν έχουμε κλάσματα αλλά ακέραιους που σημαίνει ότι με κάθε πρόσθεση, φεύγουμε όλο και πιο μακριά από το προηγούμενο άθροισμα. Με λίγα λόγια, έχουμε μια αποκλίνουσα σειρά στην οποία δεν μπορούμε να δώσουμε μια συγκεκριμένη τιμή μιας και το άθροισμα είναι άπειρο. Αν όμως βάλουμε αυτό το άθροισμα στη συνάρτηση Ζήτα, υπάρχει τρόπος να ορίσουμε μια τιμή για το αποτέλεσμα του αθροίσματος το οποίο θα δούμε παρακάτω.

Ο Ρίμαν διατύπωσε την άποψη ότι θα πρέπει να επιτρέψουμε στο \(s\) να μην αποτελείται μόνο από φυσικούς αριθμούς (1, 2, 3, 4, …) που δημιουργούν συγκλίνουσες σειρές, αλλά και από πραγματικούς και μιγαδικούς αριθμούς. Για να πάρουμε έναν μιγαδικό αριθμό, θα πρέπει να συνειδητοποιήσουμε ότι μέσα στους πραγματικούς αριθμούς δεν μπορούμε να βρούμε, για παράδειγμα, το \(\sqrt{-1}\). Αντί όμως να τους εξορίσουμε, ίσως να υπάρχει τρόπος να τους προσαρτήσουμε στους πραγματικούς αριθμούς!

Ας φανταστούμε τους πραγματικούς αριθμούς ως σημεία πάνω σε μια γραμμή:

Zonk!

  

Πάνω σε αυτή την γραμμή μπορούμε να βρούμε όλους τους πραγματικούς αριθμούς όπως τους θετικούς ακέραιους 1, 2, 3, τους αρνητικούς ακέραιους όπως το -1 καθώς και τα κλάσματα όπως το \(\frac{1}{2}\) το οποίο ξέρουμε ότι βρίσκεται στη μέση ανάμεσα στο 0 και στο 1. Μπορούμε ακόμη να βρούμε και άρρητους αριθμούς όπως το π που μπορεί να μην γνωρίζουμε ακριβώς την τιμή του αλλά μπορούμε με βεβαιότητα να πούμε ότι βρίσκεται πάνω στη γραμμή καθώς και να προσδιορίσουμε την θέση του κατά προσέγγιση. Το πρόβλημα με το \(\sqrt{-1}\) είναι ότι δεν μπορεί να βρεθεί πουθενά πάνω σε αυτή τη γραμμή. Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, μπορούμε να προσθέσουμε έναν ακόμα άξονα και να τοποθετήσουμε πάνω του το \(\sqrt{-1}\):

Zonk!

  

Με αυτό τον τρόπο, κάθε σημείο πάνω στον κάθετο άξονα μετατρέπεται σε αριθμό:

Zonk!

  

Και πέρα από αυτό, μπορούμε πλέον να βρούμε σημεία στο επίπεδο τα οποία θα είναι αριθμοί που αποτελούνται από ένα πραγματικό και ένα φανταστικό μέρος:

Zonk!

  

Γενικά, μπορούμε να πούμε με βεβαιότητα ότι για οποιονδήποτε αριθμό \(n > 1\) στον άξονα x, η συνάρτηση Ζήτα ορίζεται. Ο αριθμός \(1\) δεν συμπεριλαμβάνεται διότι θα μας δώσει μια αποκλίνουσα σειρά και κατά συνέπεια η συνάρτηση \(\zeta \left ( 1 \right )\) δεν ορίζεται. Μπορούμε να προεκτείνουμε αυτή την σκέψη και στον άξονα y και να πούμε ότι η συνάρτηση Ζήτα ορίζεται για όλους τους αριθμούς των οποίων το πραγματικό μέρος ισούται με \(n > 1\)

Zonk!

  

Αν τροφοδοτήσουμε την συνάρτηση Ζήτα με οποιονδήποτε αριθμό μέσα από το κόκκινο μέρος της εικόνας, είναι σίγουρο ότι το άθροισμα θα συγκλίνει κάπου.

Έχοντας πλέον μιγαδικούς αριθμούς στην συνάρτησή μας, μπαίνουμε σε ένα πεδίο συναρτήσεων που ονομάζονται Ολόμορφες (ή ολομορφικές ή συνεκτικές) συναρτήσεις. Οι συναρτήσεις αυτές χαίρουν κάποιων ιδιοτήτων όπως είναι η αναλυτική επέκταση η οποία μας βοηθάει να επεκτείνουμε το σύνολο στο οποίο ορίζεται η κάθε συνάρτηση, δηλαδή να φύγουμε από το κόκκινο μέρος της παραπάνω εικόνας και να πάμε σε όλο το επίπεδο. Στην περίπτωσή μας, έχουμε μια μερόμορφη συνάρτηση που σημαίνει ότι είναι ολόμορφη σε ένα σύνολο D εκτός από κάποια απομονωμένα σημεία τα οποία ονομάζονται πόλοι και στα σημεία αυτά, η συνάρτηση δεν ορίζεται.

Ο Ρίμαν λοιπόν χρησιμοποίησε την αναλυτική επέκταση στην συνάρτηση Ζήτα ώστε να καταφέρει να ξεφύγει από τον περιορισμό του \(n>1\). Η συνάρτηση που προέκυψε είναι η εξής:

\[\zeta \left ( s \right )=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left ( \frac{\pi s}{2} \right )\Gamma \left ( 1-s \right )\zeta \left ( 1-s \right )\]

και ισχύει για κάθε \(n<1\). Με αυτό τον τρόπο, η συνάρτηση Ζήτα μπορεί πλέον να οριστεί σε όλο το επίπεδο, δηλαδή να πάρει έναν αριθμό απ’ οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου και χρησιμοποιώντας την ανάλογη εκδοχή της συνάρτησης, να δώσει ένα καλά ορισμένο αποτέλεσμα.

Μπορούμε να δούμε για παράδειγμα το \(n=-1\) το οποίο τροφοδοτήσαμε νωρίτερα στην συνάρτηση Ζήτα και είδαμε ότι δεν ορίζεται διότι είχαμε μια αποκλίνουσα σειρά. Πλέον έχουμε καινούρια συνάρτηση για να χειριστεί όλα τα \(n<1\), οπότε μόλις την χρησιμοποιήσουμε για \(n=-1\), το σκηνικό αλλάζει τελείως:

\[\zeta \left ( -1 \right )=2^{-1}\pi ^{-2}\sin \left ( -\frac{\pi }{2} \right )\Gamma \left ( 2 \right )\zeta \left ( 2 \right )=-\frac{1}{12}\]

και όχι μόνο καταφέραμε να πάρουμε αποτέλεσμα, αλλά δείξαμε και ότι το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών μας κάνει μείον ένα δωδέκατο. Θα σου το γράψω κιόλας:

\[\sum_{n=1}^{\infty }n=1+2+3+4+5+…=-\frac{1}{12}\]

Δέκα λεπτά διάλλειμα να το χωνέψεις και συνεχίζουμε.

Έχουμε λοιπόν συνάρτηση για \(n>1\), έχουμε για \(n<1\), αλλά δεν έχουμε τίποτα για \(n=1\)! Αυτό συμβαίνει διότι το \(n=1\) αποτελεί πόλο της συνάρτησης Ζήτα και είναι ο μοναδικός αριθμός για τον οποίο δεν ορίζεται η συνάρτηση.

Και τώρα η ερώτηση του ενός εκατομμυρίου δολαρίων:

Για ποιες τιμές του \(s\) ισχύει ότι \(\zeta \left ( s \right )=0\);

Υπάρχουν κάποια προφανή μηδενικά, τα οποία ονομάζονται τετριμμένες ρίζες και προκύπτουν από την συνάρτηση Ζήτα αν της δώσουμε μια τιμή για το \(s\) τέτοια ώστε

\[s=-2k, k\in \mathbb{N}^{*}\]

Με πιο απλά λόγια, η συνάρτηση Ζήτα θα μας δίνει πάντα μηδέν όταν το \(s\) είναι ένας άρτιος αρνητικός αριθμός. Απ’ όλα τα πιθανά σημεία του επιπέδου που μπορούμε να επιλέξουμε σαν τιμές για το \(s\), θα πάρουμε μηδέν μόνο από αυτούς τους αριθμούς.

Υπάρχει όμως ένα γκέτο στο επίπεδό μας, μια γειτονιά στην οποία κρύβονται κι άλλες τιμές για το \(s\) που μας δίνουν μηδέν, γνωστές και ως μη-τετριμμένες ρίζες, αλλά όσοι προσπάθησαν να μπουν ξυλοκοπήθηκαν βάναυσα. Η γειτονιά αυτή βρίσκεται στο \(0\)<s<\(1\) :

Zonk!

  

Είναι επιβεβαιωμένο ότι υπάρχουν μη-τετριμμένες ρίζες μέσα στην γαλάζια λορίδα αλλά κανείς δεν γνωρίζει την ακριβή θέση τους. Κι εδώ ακριβώς έρχεται η υπόθεση Ρίμαν η οποία λέει πως όλες οι μη-τετριμμένες ρίζες έχουν πραγματικό μέρος \(\frac{1}{2}\), δηλαδή βρίσκονται ακριβώς πάνω στην μπλε γραμμή!

Αν θέλεις λοιπόν να βγάλεις ένα εκατομμύριο δολάρια, αρκεί να αποδείξεις ότι η υπόθεση του Ρίμαν είναι σωστή, ή να βρεις μια μη-τετριμμένη ρίζα με πραγματικό μέρος διαφορετικό από \(\frac{1}{2}\). Να ξέρεις πάντως ότι πιο εύκολα θα αποκτήσεις το μύριο αν μαζεύεις κέρματα απ’ τον δρόμο, αποκλειστικά νύχτες με ολόγιομο φεγγάρι, ανάδρομο Ερμή και Άρη στον Τοξότη.

 
 
 
 

Υ.Γ: Το ωραίο με την εκλαϊκευμένη επιστήμη είναι ότι μπορούμε να μάθουμε εντυπωσιακά πράγματα χωρίς να απαιτούνται φοβερές γνώσεις και χωρίς να εμβαθύνουμε σε τεχνικές λεπτομέρειες. Επίσης εντυπωσιακό είναι το πώς μερικές φορές μας ξεγελάει η λογική μας, όπως το το πρόβλημα του τηλεπαιχνιδιού ή το παράδοξο των γενεθλίων. Υπάρχουν όμως και φορές που η λογική μας τα λέει μια χαρά, αλλά αυτά που μας παρουσιάζουν είναι δοσμένα με τέτοιο τρόπο που νομίζουμε πως έχουμε πάλι μια περίπτωση σαν τις προηγούμενες. Μια απ’ αυτές τις φορές, είναι το:

\[\sum_{n=1}^{\infty }n=1+2+3+4+5+…=-\frac{1}{12}\]

Είναι αλήθεια πως η σκέψη κάθε λογικού ανθρώπου ότι \(1+2+3+4+5+…\) μας κάνει άπειρο, είναι σωστή. Είναι επίσης αλήθεια όμως ότι το παραπάνω ισχύει. Το πρόβλημα έγκειται τόσο στην έννοια του αθροίσματος όσο και στην παρατραβηγμένη χρήση του συμβόλου ίσον. Δεν θα μπω σε λεπτομέρειες, απλά θέλω να ξέρεις ότι αν μπορούσες να αθροίσεις στο κομπιουτεράκι σου όλους τους φυσικούς αριθμούς, δεν θα έβρισκες \(-\frac{1}{12}\). Θα έβρισκες άπειρο, όπως σωστά θα είχες προβλέψει.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *