Δεν ξέρω για ‘σένα, αλλά εγώ όταν βλέπω ένα λουκέτο με συνδυασμό ή ένα δελτίο τζόκερ, αναρωτιέμαι συχνά «πόσους πιθανούς συνδυασμούς έχει άραγε; Πόσες πιθανότητες έχω να κερδίσω;». Τις περισσότερες φορές, είναι απορίες που δεν έχουν κανένα νόημα, απλά θα σ’ ενδιέφερε η απάντηση. Σε κάποιες άλλες περιπτώσεις όμως, οι συνδυασμοί και οι πιθανότητες μπορούν να έχουν μεγάλη πρακτική αξία όπως στα τυχερά παιχνίδια, σε αλγόριθμους, σε κωδικούς κ.α. Παρακάτω θα δούμε τους βασικούς μαθηματικούς τύπους για να είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε σχεδόν τα πάντα Ας ξεκινήσουμε με την ορολογία που δυστυχώς στην εποχή μας είναι λίγο συγκεχυμένη. Όταν παραγγέλνουμε ένα σουβλάκι και λέμε ότι το θέλουμε με «ντομάτα, πατάτα, σως», η σειρά των υλικών δεν παίζει κανένα ρόλο. Αν πούμε «σως, ντομάτα, πατάτα», θα πάρουμε ακριβώς το ίδιο σουβλάκι. Σκέψου τώρα μια κλειδαριά που έχει συνδυασμό «925». Σε αυτή την περίπτωση, η σειρά των αριθμών είναι σημαντική μιας και αν τους αλλάξουμε θέσεις, π.χ «259», η κλειδαριά δεν θα ανοίξει. Όταν λοιπόν η σειρά δεν δεν παίζει ρόλο, τότε ζητάμε συνδυασμούς ενώ όταν η σειρά είναι σημαντική, τότε ζητάμε μεταθέσεις.

Μεταθέσεις

Οι μεταθέσεις χωρίζονται σε δύο είδη:

• Με επανάθεση: δηλαδή όταν μπορούμε να επαναλάβουμε έναν αριθμό όσες φορές θέλουμε όπως στην περίπτωση της κλειδαριάς που μπορούμε να βάλουμε για κωδικό τον αριθμό «555»
• Χωρίς επανάθεση: δηλαδή όταν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κάθε αριθμό μόνο 1 φορά. Π.χ αν τραβάμε χαρτιά από μια τράπουλα και πάρουμε το 3 κούπα, δεν μπορούμε να το ξανατραβήξουμε.

 

Μεταθέσεις με επανάθεση

Είναι οι πιο εύκολες να υπολογίσεις. Όταν έχεις \(n\) στοιχεία από τα οποία μπορείς να επιλέξεις, έχεις πάντα \(n\) επιλογές διαθέσιμες. Όταν επιλέγουμε ένα πλήθος \(r\) από το σύνολο \(n\), τότε οι μεταθέσεις είναι:

\(n \times n \times …\) (\(r\) φορές)

Με άλλα λόγια, υπάρχουν \(n\) αριθμοί διαθέσιμοι για να επιλέξεις την πρώτη φορά, \(n\) αριθμοί διαθέσιμοι για να επιλέξεις την δεύτερη φορά κ.ο.κ. Είναι πιο εύκολο αν χρησιμοποιήσουμε το \(r\) σαν εκθέτη:

\(n \times n \times …\) (\(r\) φορές) \(=n^{r}\)

Σκέψου το παράδειγμα με την κλειδαριά. Μπορείς να επιλέξεις ανάμεσα σε 10 αριθμούς \({0,1,2,…,9}\) και πρέπει να επιλέξεις 3 απ’ αυτούς μιας και η κλειδαριά θέλει τριψήφιο κωδικό:

\(10\times 10\times …\) (\(r\) φορές)\( =10^{3}=1000\) μεταθέσεις

Γενικά για τους συνδυασμούς σε κλειδαριές, μπορείς ακόμα πιο εύκολα να υπολογίσεις τις πιθανές μεταθέσεις αν σκεφτείς τον μεγαλύτερο πιθανό αριθμό που θα μπορούσε να έχει η κλειδαριά και να προσθέσεις 1. Αν η κλειδαριά παίρνει τριψήφιο κωδικό, ο μεγαλύτερος τριψήφιος αριθμός είναι το 999. Προσθέτουμε 1 (που είναι η μετάθεση 000) και παίρνουμε πάλι το 1.000. Αν παίρνει πενταψήφιο κωδικό, ο μεγαλύτερος πενταψήφιος είναι το 99.999, άρα 100.000 μεταθέσεις.Άρα ο τύπος μας είναι:

\(n^{r}\)

όπου \(n\) είναι το σύνολο των στοιχείων απ’ τα οποία μπορείς να επιλέξεις, και επιλέγεις \(r\) από αυτά.   (Επιτρέπεται η επανάθεση, η σειρά έχει σημασία)

Μεταθέσεις χωρίς επανάθεση

Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει να μειώνουμε τον αριθμό των διαθέσιμων επιλογών κάθε φορά. Για παράδειγμα, πόσες πιθανές μεταθέσεις έχει μια τράπουλα με 52 φύλλα; Αν επιλέξουμε το 5 σπαθί, δεν μπορούμε να το επιλέξουμε πάλι. Άρα για την επόμενη επιλογή φύλλου, έχουμε 51 διαθέσιμες επιλογές κ.ο.κ. Άρα ο αριθμός των μεταθέσεων θα είναι:

\[52\times 51\times 50\times 49\times… =\]
\(80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000\)

Μπορεί όμως να μην θέλεις να τα επιλέξεις όλα. Έχεις δηλαδή 52 φύλλα διαθέσιμα αλλά εσύ θες να φτιάξεις τριάδες, όχι πενηνταδυάδες! Τι κάνεις λοιπόν; Σταματάς τον παραπάνω πολλαπλασιασμό στον 3ο αριθμό (αφού θες τριάδες). Κάπως έτσι δηλαδή:

\(52\times 51\times 50 =132.600\)

Κοινώς, υπάρχουν 132.600 διαφορετικές τριάδες που μπορείς να φτιάξεις όταν έχεις διαθέσιμα 52 φύλλα. Για να τα γράψουμε όλα αυτά μαθηματικά, χρησιμοποιούμε το αγαπημένο μας σύμβολο του παραγοντικού, το θαυμαστικό! Άρα το \(52\times 51\times 50\times 49\times…\) μπορούμε απλά να το γράψουμε \(52!\). Το \(52\times 51\times 50\) όμως, πώς θα το γράψουμε; Πώς θα πούμε στο παραγοντικό να σταματήσει μετά τον τρίτο αριθμό; Μα φυσικά, διαιρώντας με το \(49!\), ή αλλιώς με το \((52-3)!\).\[\frac{52\times 51\times 50\times 49\times 48 …}{ \hspace{67 pt}49\times 48 …}=52\times 51\times 50=132600\]

Απαλείφουμε το \(49 \times 48\) κι έχουμε αυτό που χρειαζόμαστε! Ο τύπος λοιπόν είναι:

\(\frac{n!}{\left ( n-r \right )!}\)

όπου \(n\) είναι το σύνολο των στοιχείων απ’ τα οποία μπορείς να επιλέξεις, και επιλέγεις \(r\) από αυτά.   (Δεν επιτρέπεται η επανάθεση, η σειρά έχει σημασία)

Συνδυασμοί

Όπως οι μεταθέσεις, έτσι και οι συνδυασμοί χωρίζονται στις ίδιες κατηγορίες: με επανάθεση και χωρίς επανάθεση. Στην περίπτωση όμως των συνδυασμών, η ειδοποιός διαφορά είναι ότι πλέον δεν μας ενδιαφέρει η σειρά. Όπως τα υλικά για το σουβλάκι που είπαμε νωρίτερα!

Συνδυασμοί χωρίς επανάθεση

Οι συνδυασμοί χωρίς επανάθεση είναι ο τρόπος με τον οποίο λειτουργούν τα παιχνίδια όπως το λόττο και το τζόκερ. Πηγαίνοντας πίσω στο παράδειγμά μας με τα τραπουλόχαρτα, ας πούμε ότι θέλουμε να ξέρουμε ποια 3 φύλλα έχουμε επιλέξει, όχι την σειρά τους. Ξέρουμε ήδη ότι 3 φύλλα από τα συνολικά 52, μας δίνουν 132.600 μεταθέσεις. Πόσους συνδυασμούς μας δίνουν όμως; Ας πούμε ότι επιλέγουμε τα φύλλα 1, 2 και 3, όλα κούπες (για διευκόλυνση). Πάμε να δούμε τι έχουμε όταν η σειρά έχει σημασία και όταν δεν έχει:

Η σειρά έχει σημασία	Η σειρά δεν έχει σημασία
1 2 3	1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1

Άρα οι μεταθέσεις είναι 6 φορές περισσότερες από τους συνδυασμούς. Ξέρουμε ήδη πώς να υπολογίσουμε πόσες μεταθέσεις μπορεί να έχει ένα συγκεκριμένο πλήθος αριθμών (\(r!\)) οπότε το μόνο που μένει να κάνουμε είναι να τροποποιήσουμε τον τύπο των μεταθέσεων ώστε να αφαιρεί από το τελικό αποτέλεσμα τις μεταθέσεις εκείνες που αποτελούνται από τους ίδιους αριθμούς αλλά είναι σε διαφορετική σειρά μιας και η σειρά δεν μας ενδιαφέρει πλέον:\[\frac{n!}{\left ( n-r \right )!}\times \frac{1}{r!}=\frac{n!}{r!\left ( n-r \right )!}\]

Ο τύπος είναι τόσο σημαντικός που συχνά γράφεται μέσα σε μια μεγάλη παρένθεση:

\(\frac{n!}{r!\left ( n-r \right )!}=\binom{n}{r}\)

όπου \(n\) είναι το σύνολο των στοιχείων απ’ τα οποία μπορείς να επιλέξεις, και επιλέγεις \(r\) από αυτά.   (Δεν επιτρέπεται η επανάθεση, η σειρά δεν έχει σημασία)

Συνδυασμοί με επανάθεση

Δεν το άφησα τυχαία αυτό για το τέλος! Η εξήγησή του είναι λιγάκι δύσκολη γι’ αυτό ήθελα να περάσεις πρώτα απ’ όλα τα άλλα, να πιάσεις το νόημα και μετά να το διαβάσεις. Αν δεν καταλάβεις τίποτα, δεν πειράζει. Στο τέλος υπάρχει ο τύπος οπότε βάλε τα νούμερά σου και υπολόγισε αυτό που θέλεις. Δεν χρειάζεται να καταλαβαίνουμε πώς λειτουργούν τα πάντα, αν και για ‘μένα είναι highly recommended 😛

Σκέψου ότι είσαι στα Everest το έτος 2.100 και θέλεις να φτιάξεις ένα σαντουιτσάκι. Πας στη βιτρίνα και βλέπεις τα εξής διαθέσιμα υλικά: ζαμπόν, τυρί, ντομάτα, μπιφτέκι, λουκάνικο και μια ταμπέλα με μια σούπερ προσφορά, 3 υλικά με 1 zen! Ναι, δεν θα έχουμε ευρώ το 2.100, είμαι προφήτης, τι θες τώρα;! Θα χρησιμοποιήσουμε τα πρώτα γράμματα για να μην γράφω ολόκληρες τις λέξεις και να γίνει πιο μαθηματικό το πράγμα. Επίσης, θα τα γράψω με λατινικούς χαρακτήρες για να τα διαβάζει το LaTeX: \({z, t, n, m, l}\). Πόσα διαφορετικά σάντουιτς μπορείς να φτιάξεις επιλέγοντας 3 υλικά από τα 5 που είναι διαθέσιμα; Να μερικά παραδείγματα (όχι όλα):

\({m, m, m}\) (3 μπιφτέκια για τους λάτρεις της χοληστερίνης)
\({z, t, n}\) (ζαμπόν, τυρί, ντομάτα για τους fitness)
\({z, t, t}\) (ζαμπόν και διπλό τυρί για την χαμένη παιδική αθωότητα)

Έχουμε λοιπόν \(n=5\) υλικά και επιλέγουμε \(r=3\) απ’ αυτά. Δεν μας νοιάζει η σειρά και μπορούμε να επαναλάβουμε όποιο υλικό θέλουμε.

Πίσω λοιπόν από την βιτρίνα, δεν υπάρχει υπάλληλος φυσικά μιας και είμαστε στο 2.100! Υπάρχει ένας μηχανικός βραχίονας τον οποίο ελέγχεις εσύ και του δίνεις εντολές για το που να πάει και τι να κάνει. Ας πούμε ότι τα υλικά μπροστά σου είναι κάπως έτσι:

Θέλεις εσύ λοιπόν το σάντουιτς με τα τρία μπιφτέκια. Θα έδινες εντολή στον βραχίονα να πάει 3 θέσεις δεξιά, να πάρει 3 μπιφτέκια και μετά να πάει άλλη μια θέση δεξιά για να φτάσει στο τέρμα της βιτρίνας. Αλλίως, θα μπορούσαμε να το γράψουμε κάπως έτσι: \(\rightarrow \rightarrow \rightarrow \bigcirc \bigcirc \bigcirc \rightarrow\) όπου τα βελάκια του λένε να κινηθεί δεξιά και οι κύκλοι να πάρει το υλικό που βρίσκεται από κάτω του. Τα 3 παραδείγματα που είπαμε παραπάνω, θα γραφόντουσαν ως εξής:

\({m, m, m}\) (3 μπιφτέκια)	\(\rightarrow \rightarrow \rightarrow \bigcirc \bigcirc \bigcirc \rightarrow\)
\({z, t, n}\) (ζαμπόν, τυρί, ντομάτα)	\(\bigcirc \rightarrow \bigcirc \rightarrow \bigcirc \rightarrow \rightarrow \)
\({z, t, t}\) (ζαμπόν και διπλό τυρί)	\(\bigcirc \rightarrow \bigcirc \bigcirc \rightarrow \rightarrow \rightarrow \)

Άρα αντί να σκεφτόμαστε τα διαφορετικά υλικά, υπάρχει ένας πιο απλός τρόπος να το λύσουμε: με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να τακτοποιήσουμε τα βέλη και τους κύκλους; Παρατήρησε ότι υπάρχουν πάντα 3 κύκλοι (τα 3 υλικά που δικαιούμαστε) και 4 βέλη (μιας και ο βραχίονας πρέπει να πάει 4 φορές δεξιά για να φτάσει στο τέλος της βιτρίνας).

Για να το γενικεύσουμε, υπάρχουν \(r+(n-1)\) θέσεις συνολικά και \(r\) απ’ αυτές τις θέσεις, πρέπει να είναι κύκλοι. Είναι σαν να λέμε ότι έχουμε \(r+(n-1)\) τραπουλόχαρτα και επιλέγουμε \(r\) από αυτά, αλλά με λίγο διαφορετικά νούμερα! Ο τύπος μας λοιπόν είναι:

\(\binom{n+r-1}{r}=\frac{\left ( n+r-1 \right )!}{r!\left ( n-1 \right )!}\)

όπου \(n\) είναι το σύνολο των στοιχείων απ’ τα οποία μπορείς να επιλέξεις, και επιλέγεις \(r\) από αυτά.   (Επιτρέπεται η επανάθεση, η σειρά δεν έχει σημασία)

Είναι ενδιαφέρον το γεγονός ότι θα μπορούσαμε να κοιτάξουμε τα βέλη αντί για τους κύκλους όπου θα λέγαμε «υπάρχουν \(r+(n-1)\) θέσεις συνολικά και \((n-1)\) απ’ αυτές τις θέσεις, πρέπει να είναι βέλη» και η απάντηση να παρέμενε η ίδια:\[\binom{n+r-1}{r}=\binom{n+r-1}{n-1}=\frac{\left ( n+r-1 \right )!}{r!\left ( n-1 \right )!}\]

Πάμε να λύσουμε και μια στα γρήγορα το παράδειγμά μας για να μας φύγει και η απορία!

Γενικά, αφού μπορείς πλέον να υπολογίσεις τους συνδυασμούς, μπορείς να υπολογίσεις και τις πιθανότητες οπότε δεν θα δούμε τύπους και σύνολα και υποσύνολα και άλλες τέτοιες παπαρίτσες για την ώρα. Αυτό που θέλω να δούμε είναι κάποια πρακτικά θέματα γύρω από τον χώρο των τυχερών παιχνιδιών. Ας ξεκινήσουμε με το τζόκερ που όλοι γνωρίζουμε. Πρέπει να επιλέξουμε 5 αριθμούς από το 1 μέχρι το 45 και 1 αριθμό από το 1 μέχρι 20. Ανάτρεξε στα προηγούμενα και προσπάθησε να βρεις ποιόν τύπο θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε για να υπολογίσουμε τους πιθανούς συνδυασμούς! Αν δεν τα καταφέρνεις, προσπάθησε πρώτα να σκεφτείς αν επιτρέπεται η επανάθεση ή όχι και αν η σειρά έχει σημασία. Το βρήκες; Μπράβο! Πάμε να το δούμε και μαζί:

Έχουμε \(n=45\) αριθμούς από τους οποίους πρέπει να επιλέξουμε \(r=5\). Η επανάθεση δεν επιτρέπεται μιας και άμα μαυρίσουμε έναν αριθμό, δεν μπορούμε να τον ξαναμαυρίσουμε και η σειρά δεν έχει καμία σημασία, άρα έχουμε:

\[\frac{n!}{r!\left ( n-r \right )!}=\frac{45!}{5!\left ( 45-5 \right )!}=\]
\[=\frac{45\times 44\times 43\times 42\times 41\times 40\times 39\times 38\times …}{\hspace{31 pt} \left ( 5\times 4\times 3\times 2\times 1 \right )\left ( 40\times 39\times 38\times … \right )}=\]
\[\frac{45\times 44\times 43\times 42\times 41}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=\frac{146611080}{120}=1221759\]

Άρα υπάρχουν \(1.221.759\) συνδυασμοί των 5 αριθμών που μπορούμε να φτιάξουμε ή αλλιώς, έχουμε 1 πιθανότητα στις \(1.221.759\) να πετύχουμε την σωστή 5άδα. Για το τζόκερ είναι εύκολα τα πράγματα μιας και έχουμε να επιλέξουμε μόνο 1 αριθμό από τους 20 άρα \(\frac{1}{20}\). Για να ενώσουμε τις πιθανότητες της 5άδας με τις πιθανότητες του τζόκερ, πολλαπλασιάζουμε τους παρανομαστές, δηλαδή:

\[\frac{1}{1221759\times 20}=\frac{1}{24435180}\]

Κοινώς, υπάρχουν κάτι παραπάνω από 24 εκατομμύρια διαφορετικοί τρόποι να συμπληρώσεις ένα δελτίο τζόκερ και ένας απ’ αυτούς, κερδίζει στην κλήρωση. Αν διαιρέσεις το 1 με αυτό το νούμερο, θα βρεις τις πιθανότητες σε ποσοστό που στην περίπτωσή μας είναι \(\approx 0,0000000409\)% ή αλλιώς \(4,09\) πιθανότητες στα \(100.000.000\). Πώς σου φάνηκε;

Αν παίζω τα ίδια νούμερα συνέχεια, δεν αυξάνονται οι πιθανότητες να κερδίσω;
Όχι.
Μα γιατί; Αφού όσο περνάει ο χρόνος, τα τυχαία αποτέλεσμα μιας κλήρωσης τείνουν να εμφανίζονται ίσες φορές. Όσο περνάει ο χρόνος και δεν έρχεται το νούμερό μου, οι πιθανότητές μου πρέπει να αυξάνονται μιας και τα νούμερα που έχουν ήδη κληρωθεί έχουν λιγότερες πιθανότητες να ξαναβγουν!
ΟΧΙ ΕΙΠΑ!
Οκ οκ, δεν πρέπει να σου φωνάζω. Αυτή είναι μια εξαιρετική ερώτηση για την ακρίβεια! Θα ξεκινήσω λέγοντάς σου ότι αυτή η ψευδαίσθηση, έχει όνομα και λέγεται Η Πλάνη Του Τζογαδόρου (The Gambler’s fallacy) ή αλλιώς Η Πλάνη Του Μόντε Κάρλο διότι το καλοκαίρι του 1913 στο καζίνο του Μόντε Κάρλο, η ρουλέτα έφερε 26 συνεχόμενες φορές μαύρο. Ποιες οι πιθανότητες να έρθει και την 27η φορά μαύρο; Σκέφτηκαν όλοι και ποντάρανε εκατομμύρια σ’ εκείνο το γύρο. Όπως στο Παράδοξο των Γενεθλίων, έτσι κι εδώ η διαίσθησή μας μας απατά.

Για να μην μπλέκουμε με ρουλέτες και νούμερα και χρώματα, ας πούμε ότι έχουμε απλά ένα κέρμα που από την μια είναι κόκκινο και από την άλλη μαύρο και το ρίχνουμε. Ποιες είναι οι πιθανότητες να έρθει μαύρο; \(50\)% φυσικά, ή αλλιώς \(\frac{1}{2}\). Ποιες είναι οι πιθανότητες να έρθει και 2η φορά μαύρο; \(\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\). Άρα ποιες είναι οι πιθανότητες να έρθει 27 φορές μαύρο;

\[\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times … =\frac{1}{2^{27}}=\frac{1}{134217728}\]

Ορίστε! Το είπες και μόνος σου! Στις \(134.217.728\) πιθανότητες, η 1 είναι να έρθει μαύρο και οι υπόλοιπες \(134.217.727\) να έρθει κόκκινο!

Ώρα να αφήσουμε τα μολύβια κάτω και να φιλοσοφήσουμε λίγο. Το σύμπαν δεν έχει μνήμη. Προσπάθησε να καταλάβεις τη σχέση ανάμεσα στο «να έρθει 27 φορές συνεχόμενα μαύρο» και στο «η επόμενη ριξιά να είναι μαύρο». Αλήθεια, κάτσε λίγο και σκέψου το! Η αλήθεια είναι ότι κάθε ριξιά του κέρματος, είναι μοναδική. Τίποτα δεν την συνδέει με τις προηγούμενες φορές που το ρίξαμε. Κάθε φορά που ρίχνουμε το κέρμα, η πιθανότητα να έρθει μαύρο είναι \(50\)% για τον απλό λόγο ότι το κέρμα έχει 2 πλευρές άρα ή η μία θα έρθει, ή η άλλη. Το ίδιο ακριβώς ισχύει και όταν ομαδοποιούμε ριξιές. Όσες πιθανότητες έχει να έρθει 27 φορές συνεχόμενα μαύρο, τις ίδιες ακριβώς έχει και να έρθει με τη σειρά 2 φορές μαύρο, 10 κόκκινο, 5 μαύρο, 2 κόκκινο και 8 μαύρο. Θυμήσου τους συνδυασμούς που είπαμε πριν! Σκέψου ότι έχεις \(n=2\) χρώματα (μαύρο και κόκκινο) και θέλεις να βάψεις \(r=27\) κουτάκια. Η επανάθεση επιτρέπεται, η σειρά έχει σημασία άρα ο τύπος μας είναι \(n^{r}=2^{27}=134217728\) συνδυασμοί. Ένας απ’ αυτούς τους συνδυασμούς είναι να βάψεις όλα τα κουτάκια μαύρα ενώ ένας άλλος είναι να βάψεις τα πρώτα 26 μαύρα και το τελευταίο κόκκινο. Οι πιθανότητες είναι ακριβώς οι ίδιες.

Και τι γίνεται με τον Νόμο των Μεγάλων Αριθμών που μας λέει ουσιαστικά ότι η κατανομή των αποτελεσμάτων τείνει να συγκλίνει προς τον μέσο όρο όσο επαναλαμβάνονται οι προσπάθειες;
Ο νόμος προφανώς και ισχύει αλλά για να μπορέσουμε να τον αξιοποιήσουμε π.χ σε μια ρουλέτα, θα πρέπει να παρακολουθούμε τα αποτελέσματά της από το πρώτο παιχνίδι. Αν πας σήμερα σε ένα καζίνο και καθίσεις στην ρουλέτα, πώς ξέρεις πόσες ριξιές είχε πριν η ρουλέτα ώστε να υπολογίσεις σε ποιο σημείο της κατανομής βρίσκεται; Πώς ξέρεις πόσες φορές έχει έρθει μαύρο ή ακόμα χειρότερα, πώς ξέρεις από πόσες φορές έχει έρθει το κάθε νούμερο, ποιο νούμερο δεν έχει έρθει ποτέ και πιο είναι το πιο συχνά εμφανιζόμενο; Ακόμα όμως και να τα ξέρεις όλα αυτά, οι κατανομές δεν τείνουν να συγκλίνουν στον μέσο όρο μετά από 5-10 ριξιές αλλά μετά από εκατοντάδες ή και χιλιάδες. Θα πρέπει λοιπόν να κάτσεις να παρακολουθήσεις 1.000 αποτελέσματα της ρουλέτας για να βγάλεις ένα διάγραμμα κατανομής των αποτελεσμάτων. Οι αριθμοί είναι τόσο μεγάλοι που είναι αδύνατον για έναν άνθρωπο να τους αξιοποιήσει στην πράξη.